前一篇文章《》算是一种针对内容的规划，而针对时间顺序任务规划，加工车间的工活儿是一个典型的场景。在加工车间有不同的工活儿，一般称为作业，每种作业都有多道工序，每道工序只能在特定的机器上完成。工序有不同的时长，而且是不能更改先后的。这些作业正是制造车间大规模生产线的任务，比如汽车零件制造。问题就是，工厂需要做一个最优的规划，使得作业严格按工序进行的前提下，消耗的时间最短，这样就保证了生产效率是最佳的。如果想做到最优规划，以下约束必不可少：
1. 在作业中必须要前一道工序完成才能进行下一道工序。
2. 对于一台机器，一次只能支持一个作业中的一道工序的运转。
3. 对于每道工序，一旦开始就必须完整地结束。
案例背景
以下是某个车间的作业情况，job代表作业，（m,p）代表了工序，其中m表示从0开始的机器编号，p代表了这道工序需要消耗的时长。本文假设了一个作业计划：
job 0 = [(0, 3), (1, 2), (2, 2)]
job 1 = [(0, 2), (2, 1), (1, 4)]
job 2 = [(1, 4), (2, 3)]
如上所示，job 0有三道工序，第一道工序在0号机器用掉3个单位时长，第二道在1号机器用掉2个单位时长，第三道在2号机器用掉2个单位时长，以此类推，总共八道工序。
解决方案
有一种解决方案如下图，在一个时间轴上，每道工序有一个开始时间，占据一定的时长代表消耗部分，互相不会重叠，所有工序安置完毕，最长的地方就是整个作业全部完成的时长。
上图给了一个示范，一共消耗12个单位时长，当然这也不是最优的，后面通过编码我们再计算出最优的结果。
定义约束
首先我们将工序时长定义为task(i, j)，表示job i的第j道工序，定义ti, j表示task(i, j)开始的时间点。有了这两种定义，按照之间的要求，于是有了如下的关系约束：
1. 连接约束，对于同一个作业，前一道工序加上消耗的时长就是后一道工序。比如，对于作业job 0来说，t0, 2表示第二道工序开始的位置，最多消耗2个单位时长之后，就是第三道工序的位置，即：t0, 2 + 2 ≤ t0, 3。
2. 非连接约束，对于不同的作业，要保证前一道工序完成后才能进行下一道工序。比如在1号的机器上有task(0, 2)和task(2, 1)，它们消耗的时长分别是2和4个单位，那么就有：
t0, 2 + 2 ≤ t2, 1 如果task(0, 2)在task(2, 1)前运行的话
或者
t2, 1 + 4 ≤ t0, 2 如果task(2, 1)在task(0, 2)前运行的话
基于这个关系，前面案例的作业计划的约束关系如图所示：
带箭头的实线表示了每个作业的工序，有连接约束的情况，而虚线表示了非连接约束的情况，实线有箭头是因为每个作业的工序是确定的，而虚线没有箭头也就说明顺序是没有确定的，这也正是我们要通过规划解决的问题。
最终求解目标
如果假定pi, j表示task(i, j)的消耗时长，那么我们要解决的全局问题就是在所有task都完成后，求一个maxi, j ti, j + pi, j的最小值，表示生产效率最优的结果。
代码分解
看过本文开头谈到的前一篇文章后，对于项目初始化和相同的基本概念就不再介绍了。
首先定义一些初始化用的值。
// 创建约束求解器.var solver = new Solver("jobshop");var machines_count = 3;var jobs_count = 3;var all_machines = Enumerable.Range(0, machines_count);var all_jobs = Enumerable.Range(0, jobs_count); 再定义出所有的工序。MakeFixedDurationIntervalVar就是OR-Tools专门用来创建间隔时间的变量类型。
// 将任务拆分成对应的机器和用时的结构// job 0 = [(0, 3), (1, 2), (2, 2)]// job 1 = [(0, 2), (2, 1), (1, 4)]// job 2 = [(1, 4), (2, 3)]var machines = new int[][]{ new[] { 0, 1, 2 }, new[] { 0, 2, 1 }, new[] { 1, 2 }};var processing_times = new int[][]{ new[] { 3, 2, 2 }, new[] { 2, 1, 4 }, new[] { 4, 3 }};// 计算总用时var horizon = 0;foreach (var i in all_jobs) horizon += processing_times[i].Sum();// 创建工序变量var all_tasks = new Dictionary<(int, int), IntervalVar>();foreach (var i in all_jobs){ foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length)) { all_tasks[(i, j)] = solver.MakeFixedDurationIntervalVar(0, horizon, processing_times[i][j], false, $"Job_{i}_{j}"); }} 然后定义连接约束和非连接约束，MakeDisjunctiveConstraints专门用来创建非连接约束的，StartsAfterEnd专门用来创建连接约束。
// 创建连接的顺序变量及连接关系var all_sequences = new SequenceVarVector();//var all_machines_jobs = new List();foreach (var i in all_machines){ var machines_jobs = new IntervalVarVector(); foreach (var j in all_jobs) { foreach (var k in Enumerable.Range(0, machines[j].Length)) { if (machines[j][k] == i) { machines_jobs.Add(all_tasks[(j, k)]); } } } var disj = solver.MakeDisjunctiveConstraint(machines_jobs, $"machine {i}"); all_sequences.Add(disj.SequenceVar()); solver.Add(disj);}// 定义连接约束foreach (var i in all_jobs){ foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length - 1)) { solver.Add(all_tasks[(i, j + 1)].StartsAfterEnd(all_tasks[(i, j)])); }}
重点的部分，就是创建求解目标了。MakeMinimize用来求最小值，第二个参数表示每次移动的步长，直到有解为止。
// 创建求解的极值目标var end_tasks = new IntVarVector();foreach (var i in all_jobs){ end_tasks.Add(all_tasks[(i, machines[i].Length - 1)].EndExpr().Var());}var obj_var = solver.MakeMax(end_tasks);var objective_monitor = solver.MakeMinimize(obj_var.Var(), 1);// 创建求解的对象var sequence_phase = solver.MakePhase(all_sequences.ToArray(), Solver.SEQUENCE_DEFAULT);var vars_phase = solver.MakePhase(new[] { obj_var.Var() }, Solver.CHOOSE_FIRST_UNBOUND, Solver.ASSIGN_MIN_VALUE);var main_phase = solver.Compose(new[] { sequence_phase, vars_phase }); 最后是显示最优解结果的部分。
// 创建最后一个解决方案var collector = solver.MakeLastSolutionCollector();// 添加需要关注的变量collector.Add(all_sequences.ToArray());collector.AddObjective(obj_var.Var());foreach (var i in all_machines){ var sequence = all_sequences[i]; var sequence_count = sequence.Size(); for (var j = 0; j < sequence_count; j++) { var t = sequence.Interval(j); collector.Add(t.StartExpr().Var()); collector.Add(t.EndExpr().Var()); }}// 显示结果var disp_col_width = 10;if (solver.Solve(main_phase, new SearchMonitor[] { objective_monitor, collector })){ Console.WriteLine("\nOptimal Schedule Length: {0}\n", collector.ObjectiveValue(0)); var sol_line = ""; var sol_line_tasks = ""; Console.WriteLine("Optimal Schedule\n"); foreach (var i in all_machines) { var seq = all_sequences[i]; sol_line += $"Machine {i}: "; sol_line_tasks += $"Machine {i}: "; var sequence = collector.ForwardSequence(0, seq); var seq_size = sequence.Count; foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size)) { var t = seq.Interval(sequence[j]); sol_line_tasks += t.Name().PadRight(disp_col_width, ' '); } foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size)) { var t = seq.Interval(sequence[j]); var sol_tmp = $"[{collector.Value(0, t.StartExpr().Var())},{collector.Value(0, t.EndExpr().Var())}]"; sol_line += sol_tmp.PadRight(disp_col_width, ' '); } sol_line += "\n"; sol_line_tasks += "\n"; } Console.WriteLine(sol_line_tasks); Console.WriteLine("Time Intervals for Tasks\n"); Console.WriteLine(sol_line);} 运行后结果如下：
可以看到，这一次求得了最优解，与前面给的示范的结果不一样了，总时长上更少，是11而不是12了。对应的图解是这样：
是不是觉得很有趣，跃跃欲试了！动手做就是最好的开始。
最后放出完整代码：
using Google.OrTools.ConstraintSolver;using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;public class ConsoleApp1{ static void Main() { // 创建约束求解器. var solver = new Solver("jobshop"); var machines_count = 3; var jobs_count = 3; var all_machines = Enumerable.Range(0, machines_count); var all_jobs = Enumerable.Range(0, jobs_count); // 将任务拆分成对应的机器和用时的结构 // job 0 = [(0, 3), (1, 2), (2, 2)] // job 1 = [(0, 2), (2, 1), (1, 4)] // job 2 = [(1, 4), (2, 3)] var machines = new int[][] { new[] { 0, 1, 2 }, new[] { 0, 2, 1 }, new[] { 1, 2 } }; var processing_times = new int[][] { new[] { 3, 2, 2 }, new[] { 2, 1, 4 }, new[] { 4, 3 } }; // 计算总用时 var horizon = 0; foreach (var i in all_jobs) horizon += processing_times[i].Sum(); // 创建工序变量 var all_tasks = new Dictionary<(int, int), IntervalVar>(); foreach (var i in all_jobs) { foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length)) { all_tasks[(i, j)] = solver.MakeFixedDurationIntervalVar(0, horizon, processing_times[i][j], false, $"Job_{i}_{j}"); } } // 创建连接的顺序变量及连接关系 var all_sequences = new SequenceVarVector(); //var all_machines_jobs = new List (); foreach (var i in all_machines) { var machines_jobs = new IntervalVarVector(); foreach (var j in all_jobs) { foreach (var k in Enumerable.Range(0, machines[j].Length)) { if (machines[j][k] == i) { machines_jobs.Add(all_tasks[(j, k)]); } } } var disj = solver.MakeDisjunctiveConstraint(machines_jobs, $"machine {i}"); all_sequences.Add(disj.SequenceVar()); solver.Add(disj); } // 定义连接约束 foreach (var i in all_jobs) { foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length - 1)) { solver.Add(all_tasks[(i, j + 1)].StartsAfterEnd(all_tasks[(i, j)])); } } // 创建求解的极值目标 var end_tasks = new IntVarVector(); foreach (var i in all_jobs) { end_tasks.Add(all_tasks[(i, machines[i].Length - 1)].EndExpr().Var()); } var obj_var = solver.MakeMax(end_tasks); var objective_monitor = solver.MakeMinimize(obj_var.Var(), 1); // 创建求解的对象 var sequence_phase = solver.MakePhase(all_sequences.ToArray(), Solver.SEQUENCE_DEFAULT); var vars_phase = solver.MakePhase(new[] { obj_var.Var() }, Solver.CHOOSE_FIRST_UNBOUND, Solver.ASSIGN_MIN_VALUE); var main_phase = solver.Compose(new[] { sequence_phase, vars_phase }); // 创建最后一个解决方案 var collector = solver.MakeLastSolutionCollector(); // 添加需要关注的变量 collector.Add(all_sequences.ToArray()); collector.AddObjective(obj_var.Var()); foreach (var i in all_machines) { var sequence = all_sequences[i]; var sequence_count = sequence.Size(); for (var j = 0; j < sequence_count; j++) { var t = sequence.Interval(j); collector.Add(t.StartExpr().Var()); collector.Add(t.EndExpr().Var()); } } // 显示结果 var disp_col_width = 10; if (solver.Solve(main_phase, new SearchMonitor[] { objective_monitor, collector })) { Console.WriteLine("\nOptimal Schedule Length: {0}\n", collector.ObjectiveValue(0)); var sol_line = ""; var sol_line_tasks = ""; Console.WriteLine("Optimal Schedule\n"); foreach (var i in all_machines) { var seq = all_sequences[i]; sol_line += $"Machine {i}: "; sol_line_tasks += $"Machine {i}: "; var sequence = collector.ForwardSequence(0, seq); var seq_size = sequence.Count; foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size)) { var t = seq.Interval(sequence[j]); sol_line_tasks += t.Name().PadRight(disp_col_width, ' '); } foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size)) { var t = seq.Interval(sequence[j]); var sol_tmp = $"[{collector.Value(0, t.StartExpr().Var())},{collector.Value(0, t.EndExpr().Var())}]"; sol_line += sol_tmp.PadRight(disp_col_width, ' '); } sol_line += "\n"; sol_line_tasks += "\n"; } Console.WriteLine(sol_line_tasks); Console.WriteLine("Time Intervals for Tasks\n"); Console.WriteLine(sol_line); } }}